变化率与微分模型
把 \(\tfrac{dy}{dx}\) 视为 \(\tfrac{\text{small change in }y}{\text{small change in }x}\)，表示 \(y\) 关于 \(x\) 的变化率。将 \(y,x\) 换成具体量，即可用于真实场景的建模与求解。
单位要统一：例如体积/面积/长度与时间的单位，最终答案需附单位。
教材内容
把 \(\tfrac{dy}{dx}\) 视为 \(\tfrac{\text{small change in }y}{\text{small change in }x}\)，表示 \(y\) 关于 \(x\) 的变化率。将 \(y,x\) 换成具体量，即可用于真实场景的建模与求解。
已知膨胀球体体积 \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\)。求半径为 \(r=5\,\text{cm}\) 的瞬时 \(\tfrac{dV}{dr}\)。
\(\tfrac{dV}{dr}=4\pi r^2\Rightarrow \tfrac{dV}{dr}\big|_{r=5}=4\pi\cdot 25=100\pi\,\text{cm}^3/\text{cm}=100\pi\,\text{cm}^2\)。
用 \(54\,\text{m}^2\) 金属板制作无顶水箱，底为矩形且两对立侧面为正方形，高为 \(x\,\text{m}\)。
a) 证明 \(V=18x-\tfrac{2}{3}x^3\)。 b) 用微分求 \(V\) 的极值。 c) 证明所得为最大值。
\(\tfrac{dV}{dx}=18-2x^2=0\Rightarrow x=3\)。\(\tfrac{d^2V}{dx^2}=-4x\big|_{x=3}=-12<0\Rightarrow V_{\max}=36\,\text{m}^3\)。
面积为 \(100\,\text{cm}^2\) 的扇形，求周长最小值。
由 \(A=\tfrac{1}{2}r^2\theta=100\Rightarrow \theta=\tfrac{200}{r^2}\)。\(P=2r+r\theta=2r+\tfrac{200}{r}\)，求导并极值。
如图所示上半部为半圆的复合图形，周长为 \(40\,\text{cm}\)。证明 \(A=40r-2r^2-\tfrac{\pi r^2}{2}\) 并求最大面积。
